Машинные коды

23.04.2012 Автор: Рубрика: Методический материал»

Логические функции.

В математической логике используются только логические переменные, которые принимают значения 0 («ложь») и 1 (истина).

Функции, которые используют логические переменные, называются логическими. Значения любой логической функции могут принимать значения только 0 и 1. Количество различных наборов, которые могут быть образованы N переменными равно 2. Следовательно, количество различных функций от N переменных будет равно . И так как количество логических переменных равно 2 (0 или1), то количество функций равно 16. Основными логическими функциями являются:

  • логическое сложение или дизъюнкция ( + или Ú );
  • логическое умножение или конъюнкция ( • или Ù, & );
  • отрицание .
  • импликация или функция следования: левая ® и правая ¬;
  • сложение по модулю 2 ();
  • функция Шеффера (½);
  • стрелка Пирса (¯);
  • единичная функция 1;
  • нулевая функция 0;
  • функция сохранения переменной а.

Значение каждой логической функции описывается таблицей истинности, которая устанавливает соответствие между возможными значениями наборов переменных и значениями функции. Рассмотрим таблицы истинности перечисленных выше логических функций.

Логическое сложение а+b или дизъюнкция а Ú b. Дизъюнкция двух слагаемых ложна тогда и только тогда, когда ложны оба слагаемых. Таблица истинности имеет вид

 

а b

a+b 

0 0 

0 

0 1 

1 

1 0 

1 

1 1 

1 

 

Логическое умножение a•b или конъюнкция a Ù b. Конъюнкция двух сомножителей истинна тогда и только тогда, когда истинны оба сомножителя. Таблица истинности имеет вид

 

а b

a•b 

0 0 

0 

0 1 

0 

1 0 

0 

1 1 

1 

 

Отрицание
– инверсия. Запись читается как «не а». Отрицание лжи есть истина, отрицание истины есть ложь.

 

Таблица истинности имеет вид

 

а 

0 

1 

1 

0 

 

Импликация или функция следования. Запись a ® b читается как a импликация b или из a следует b. Запись a ¬ b читается как b импликация a или из b следует a. Для функции импликации из лжи следует все, что угодно, а из истины только истина. Таблица истинности левой импликации имеет вид

а b

a ® b

0 0 

1 

0 1 

1 

1 0 

0 

1 1 

1 

Выражение для импликации можно записать в виде a ® b = + b.

 

Таблица истинности правой импликации имеет вид

а b

a ¬ b

0 0 

1 

0 1 

0 

1 0 

1 

1 1 

1 

Выражение для импликации можно записать в виде a ¬ b = a + .

 

Сложение по модулю 2.

Запись читается как a плюс по модулю 2 b. Функция сложения по модулю 2 истинна тогда и только тогда, когда значения переменных различны.

а b

a b

0 0 

0 

0 1 

1 

1 0

1 

1 1 

0 

 

Выражение для сложения по модулю 2 можно записать в виде

a b = •b +а•.

 

Функция тождества или эквивалентность а~b. Истинна тогда и только тогда, когда значения переменных совпадают

а b

a ~ b

0 0 

1

0 1 

0

1 0 

0

1 1 

1

Выражение для эквивалентности записывается в виде


 

Функция Шеффера a½b читается как a штрих Шеффера b.

Функция ложна тогда и только тогда, когда оба значения переменных истины.

 

а b

a½b

0 0 

1 

0 1 

1 

1 0 

1 

1 1 

0 

 

Функция Шеффера противоположна конъюнкции и выражение для нее имеет вид a½b = .

 

Функция Пирса a¯b читается как a стрелка Пирса b (или функция Вебба ). Функция истинна тогда и только тогда, когда ложны обе ее переменные.

 

а b

a¯b

0 0 

1 

0 1 

0 

1 0 

0 

1 1 

0 

 

Стрелка Пирса противоположна дизъюнкции и выражение для нее имеет вид a¯b = = .

 

Единичная функция 1 определяет логическую константу 1.

 

а b

1 

0 0 

1 

0 1 

1 

1 0 

1 

1 1 

1 

 

1(a, b) = 1

 

Нулевая функция 0 определяет логическую константу 0.

 

а b

0 

0 0 

0 

0 1 

0 

1 0 

0 

1 1 

0 

 

Функция сохранения переменной а.

Данная функция истинна тогда и только тогда, когда переменная a истинна.

 

а b

a 

0 0 

0 

0 1 

0 

1 0 

1 

1 1 

1 

 

а(а, b) = а.

 

Функция сохранения переменной b.

Данная функция истинна тогда и только тогда, когда переменная b истинна.

 

а b

b 

0 0 

0 

0 1 

1

1 0 

0

1 1 

1 

 

b(а, b) = b.

 

Двоичные логические элементы.

Основными составными частями любых цифровых электронных устройств (, калькуляторов и т.п.) являются логические элементы. Термин «логический» обычно применяют в процедурах принятия решений. Поэтому можно сказать, что логический элемент – это электронная схема, которая в зависимости от входных сигналов «принимает решение» о значении выходного сигнала. Логические элементы, которые мы будем рассматривать, оперируют с двоичными числами и поэтому называются двоичными логическими элементами.

 

Логический элемент И. Аналогом электронного элемента И является механический переключатель. Схема элемента И представлена на рис.


 

 

 

 

Функционирование логического элемента И описывается таблицей истинности

 

а b

a•b 

0 0 

0 

0 1 

0 

1 0 

0 

1 1 

1 

 

и, следовательно, элемент И реализует функцию логического умножения a•b или конъюнкцию a Ù b.

 

Логический элемент ИЛИ. Схема элемента ИЛИ показана на рис.


 

 

 

 

 

Функционирование логического элемента ИЛИ описывается таблицей истинности

а b

a+b 

0 0 

0 

0 1 

1 

1 0 

1 

1 1 

1 

 

 

 

 

 

 

и, следовательно, элемент ИЛИ реализует функцию логического сложения а+b или дизъюнкцию а Ú b.

 

Логический элемент Инвертор. Схема элемента Инвертор показана на рис.


 

Функционирование логического элемента Инвертор описывается таблицей истинности

а 

0 

1 

1 

0 

и, следовательно, элемент Инвертор реализует функцию отрицания («не а»).

Логические элементы И, ИЛИ, НЕ представляют собой три основных типа схем, из которых создаются все цифровые устройства. Но на практике применяются и некоторые дополнительные логические элементы.

 

Логический элемент И-НЕ. Этот элемент реализует логическую функцию инвертированное И, т.е. он инвертирует результат логической операции И. Схема элемента И- НЕ показана на рис.


 

Таблица истинности для элемента И-НЕ имеет следующий вид

 

а b

0 0 

1 

0 1 

1 

1 0 

1 

1 1 

0 

 

Логический элемент ИЛИ-НЕ. Этот элемент может быть назван элементом отрицания ИЛИ, т.к. он инвертирует выход функции ИЛИ.



 

 

Таблица истинности для элемента ИЛИ-НЕ имеет следующий вид

а b

0 0 

1

0 1 

0 

1 0 

0 

1 1

0 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Логический элемент исключающее ИЛИ

 


Таблица истинности для элемента исключающее ИЛИ имеет следующий вид

 

=

а b

0 0

0

0 1 

1 

1 0 

1 

1 1 

0 

 

 

 

 

 

 

 

Базовые логические схемы.

Цифровые схемы строятся на основе использования простых базовых логических схем И, ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Существуют три основные операции между логическими переменными: конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение) и инверсия (логическое отрицание).

 

Таблицы истинности для булевых выражений.

Булевы выражения – это метод описания принципа работы логической схемы. Таблицы истинности – это другой метод описания того, как работает логическая схема. Конструирование логических схем начинается с составления таблицы истинности. Затем информация о правилах работы логической схемы которая задана в форме таблицы должна быть преобразована в булевы выражения. Основной принцип перехода от таблицы истинности к булеву выражению состоит в том, что нужно искать те комбинации переменных, которые дают логическую единицу в таблице истинности.

 

Пример.

Таблица истинности имеет следующий вид

 

Входы 

Выход 

С 

В 

А 

Y

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

0 

0 

1 

0 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

0 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

0 

 

Анализ таблицы показывает, что только две из восьми комбинаций двоичных символов на входах А, В, С дают на выходе логическую 1. Это комбинации •В•А и С•.

Эти две комбинации описываются булевым выражением

Y = •В•А + С•,

которое включает в себя логические функции И и ИЛИ.

 

Сумматоры.

Сложение двоичных чисел осуществляется в соответствии с таблицей сложения

 

a

b

= a+b

Перенос С1

0 

0 

0 

 

1 

0 

1 

 

0 

1 

1 

 

1 

1 

0 

1

 

Пример.

Построить булеву функцию и создать полусумматор из логических элементов.

Таблицу сложения можно рассматривать как таблицу истинности. Из таблицы видно, что состояние выхода переноса С1 можно описать булевым выражением С1 = a×b. Следовательно, схемной реализацией этого выражения будет схема И. Состояние выхода полусумматора будет описываться выражением . Для реализации такой функции можно использовать 2 логических элемента И и логический элемент ИЛИ.

Но если проанализировать таблицу истинности, то суммирование можно выполнить на основе элемента «исключающее ИЛИ». В этом случае мы получим схему полусумматора, который выполняет сложение только в разряде единиц:


 

Для двоичного сложения в разрядах двоек, четверок и восьмерок необходимо использовать полный сумматор, который состоит из двух полусумматоров и элемента ИЛИ.

 

Таблица истинности полного сумматора

Входы 

Выходы 

C1(вход переноса)

B

A

 

C0

0 

0 

0 

0 

0 

0 

0 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

1 

0 

0 

1 

1 

0 

1 

1 

0 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

0 

1 

1 

1 

0 

0 

1 

1 

1 

1 

1 

1 

 

Схема сумматора приведена на рис.:

 



 

  •  
Метки текущей записи:
, ,
Автор статьи:
написал 5392 статьи.
Комментарии:

Оставьте комментарий!

Вы должны быть авторизированы чтобы оставлять комментарии.