Логические функции.

В математической логике используются только логические переменные, которые принимают значения 0 («ложь») и 1 (истина).

Функции, которые используют логические переменные, называются логическими. Значения любой логической функции могут принимать значения только 0 и 1. Количество различных наборов, которые могут быть образованы N переменными равно 2. Следовательно, количество различных функций от N переменных будет равно . И так как количество логических переменных равно 2 (0 или1), то количество функций равно 16. Основными логическими функциями являются:

• логическое сложение или дизъюнкция ( + или Ú );
  
• логическое умножение или конъюнкция ( • или Ù, & );
  
• отрицание .
  
• импликация или функция следования: левая ® и правая ¬;
  
• сложение по модулю 2 ();
  
• функция Шеффера (½);
  
• стрелка Пирса (¯);
  
• единичная функция 1;
  
• нулевая функция 0;
  
• функция сохранения переменной а.
  

Значение каждой логической функции описывается таблицей истинности, которая устанавливает соответствие между возможными значениями наборов переменных и значениями функции. Рассмотрим таблицы истинности перечисленных выше логических функций.

Логическое сложение а+b или дизъюнкция а Ú b. Дизъюнкция двух слагаемых ложна тогда и только тогда, когда ложны оба слагаемых. Таблица истинности имеет вид

Логическое умножение a•b или конъюнкция a Ù b. Конъюнкция двух сомножителей истинна тогда и только тогда, когда истинны оба сомножителя. Таблица истинности имеет вид

Отрицание
– инверсия. Запись читается как «не а». Отрицание лжи есть истина, отрицание истины есть ложь.

Таблица истинности имеет вид

Импликация или функция следования. Запись a ® b читается как a импликация b или из a следует b. Запись a ¬ b читается как b импликация a или из b следует a. Для функции импликации из лжи следует все, что угодно, а из истины только истина. Таблица истинности левой импликации имеет вид

Выражение для импликации можно записать в виде a ® b = + b.

Таблица истинности правой импликации имеет вид

Выражение для импликации можно записать в виде a ¬ b = a + .

Сложение по модулю 2.

Запись читается как a плюс по модулю 2 b. Функция сложения по модулю 2 истинна тогда и только тогда, когда значения переменных различны.

Выражение для сложения по модулю 2 можно записать в виде

a b = •b +а•.

Функция тождества или эквивалентность а~b. Истинна тогда и только тогда, когда значения переменных совпадают

Выражение для эквивалентности записывается в виде

Функция Шеффера a½b читается как a штрих Шеффера b.

Функция ложна тогда и только тогда, когда оба значения переменных истины.

Функция Шеффера противоположна конъюнкции и выражение для нее имеет вид a½b = .

Функция Пирса a¯b читается как a стрелка Пирса b (или функция Вебба ). Функция истинна тогда и только тогда, когда ложны обе ее переменные.

Стрелка Пирса противоположна дизъюнкции и выражение для нее имеет вид a¯b = = .

Единичная функция 1 определяет логическую константу 1.

1(a, b) = 1

Нулевая функция 0 определяет логическую константу 0.

Функция сохранения переменной а.

Данная функция истинна тогда и только тогда, когда переменная a истинна.

а(а, b) = а.

Функция сохранения переменной b.

Данная функция истинна тогда и только тогда, когда переменная b истинна.

b(а, b) = b.

Двоичные логические элементы.

Основными составными частями любых цифровых электронных устройств (ЭВМ, калькуляторов и т.п.) являются логические элементы. Термин «логический» обычно применяют в процедурах принятия решений. Поэтому можно сказать, что логический элемент – это электронная схема, которая в зависимости от входных сигналов «принимает решение» о значении выходного сигнала. Логические элементы, которые мы будем рассматривать, оперируют с двоичными числами и поэтому называются двоичными логическими элементами.

Логический элемент И. Аналогом электронного элемента И является механический переключатель. Схема элемента И представлена на рис.

Функционирование логического элемента И описывается таблицей истинности

и, следовательно, элемент И реализует функцию логического умножения a•b или конъюнкцию a Ù b.

Логический элемент ИЛИ. Схема элемента ИЛИ показана на рис.

Функционирование логического элемента ИЛИ описывается таблицей истинности

и, следовательно, элемент ИЛИ реализует функцию логического сложения а+b или дизъюнкцию а Ú b.

Логический элемент Инвертор. Схема элемента Инвертор показана на рис.

Функционирование логического элемента Инвертор описывается таблицей истинности

и, следовательно, элемент Инвертор реализует функцию отрицания («не а»).

Логические элементы И, ИЛИ, НЕ представляют собой три основных типа схем, из которых создаются все цифровые устройства. Но на практике применяются и некоторые дополнительные логические элементы.

Логический элемент И-НЕ. Этот элемент реализует логическую функцию инвертированное И, т.е. он инвертирует результат логической операции И. Схема элемента И- НЕ показана на рис.

Таблица истинности для элемента И-НЕ имеет следующий вид

Логический элемент ИЛИ-НЕ. Этот элемент может быть назван элементом отрицания ИЛИ, т.к. он инвертирует выход функции ИЛИ.

Таблица истинности для элемента ИЛИ-НЕ имеет следующий вид

Логический элемент исключающее ИЛИ

Таблица истинности для элемента исключающее ИЛИ имеет следующий вид

=

Базовые логические схемы.

Цифровые схемы строятся на основе использования простых базовых логических схем И, ИЛИ, И-НЕ, ИЛИ-НЕ. Существуют три основные операции между логическими переменными: конъюнкция (логическое умножение), дизъюнкция (логическое сложение) и инверсия (логическое отрицание).

Таблицы истинности для булевых выражений.

Булевы выражения – это метод описания принципа работы логической схемы. Таблицы истинности – это другой метод описания того, как работает логическая схема. Конструирование логических схем начинается с составления таблицы истинности. Затем информация о правилах работы логической схемы которая задана в форме таблицы должна быть преобразована в булевы выражения. Основной принцип перехода от таблицы истинности к булеву выражению состоит в том, что нужно искать те комбинации переменных, которые дают логическую единицу в таблице истинности.

Пример.

Таблица истинности имеет следующий вид

Анализ таблицы показывает, что только две из восьми комбинаций двоичных символов на входах А, В, С дают на выходе логическую 1. Это комбинации •В•А и С••.

Эти две комбинации описываются булевым выражением

Y = •В•А + С••,

которое включает в себя логические функции И и ИЛИ.

Сумматоры.

Сложение двоичных чисел осуществляется в соответствии с таблицей сложения

Пример.

Построить булеву функцию и создать полусумматор из логических элементов.

Таблицу сложения можно рассматривать как таблицу истинности. Из таблицы видно, что состояние выхода переноса С₁ можно описать булевым выражением С₁ = a×b. Следовательно, схемной реализацией этого выражения будет схема И. Состояние выхода полусумматора будет описываться выражением . Для реализации такой функции можно использовать 2 логических элемента И и логический элемент ИЛИ.

Но если проанализировать таблицу истинности, то суммирование можно выполнить на основе элемента «исключающее ИЛИ». В этом случае мы получим схему полусумматора, который выполняет сложение только в разряде единиц:

Для двоичного сложения в разрядах двоек, четверок и восьмерок необходимо использовать полный сумматор, который состоит из двух полусумматоров и элемента ИЛИ.

Таблица истинности полного сумматора

Схема сумматора приведена на рис.:

Метки текущей записи:

права, право, ЭВМ

Автор статьи: Дмитрий

Дмитрий написал 6135 статей.

Больше из этой рубрики

• Какую операционную систему лучше всего установить на компьютер Windows или Linux?
• Машинные коды
• Основы математической логики
• Сложение, деление, умножение двоичных чисел
• Машинные коды чисел. Общие правила образования двоичных машинных кодов

Больше этого автора

• Понятие и виды векселей
• При выборе короля
• Обучение в Чехии: вратa в европейское образование
• Sen Chuck Grassleys Office Has Produced twenty Married Couples
• Виды покера на костях